Bài Tập Giới Hạn Hàm Số Toán Cao Cấp

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên cơ sở những kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, khối hệ thống hóa và nâng cao các kỹ năng về hàm số một trở thành số: Giới hạn, tính tiếp tục của hàm số.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm số toán cao cấp

Khuyên bảo học • Đây là bài bác học nhằm ôn tập và khối hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình diện tích lớn nên bạn phải đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số....


*

bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng phương châm • gọi được tư tưởng hàm số, giới hạn, sựBạn nên học và làm bài bác tập của bài bác nàytrong hai tuần, mỗi tuần khoảng chừng 3 cho 4 liên tụcgiờ đồng hồ. • Giải được những bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục • Áp dụng ứng dụng toán để tính toán với hàm số, giới hạnNội dungTrên cơ sở các kiến thức của công tác phổ thông, mục đích của bài xích này là ôn tập, hệ thốnghóa và nâng cao các kỹ năng và kiến thức về hàm số một vươn lên là số: Giới hạn, tính liên tiếp củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài xích học nhằm mục đích ôn tập và khối hệ thống hóa lại các kiến thức toán học vẫn học vào chương trình nhiều nên bạn phải đọc kỹ lại các triết lý về hàm số, giới hạn.• sau khi đọc kỹ định hướng bạn đề xuất làm bài xích tập càng các càng giỏi để củng vậy và cải thiện kiến thức. 1 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.1. Hàm số một biến chuyển số1.1.1. Định nghĩa hàm số một phát triển thành số đến X là tập phù hợp khác trống rỗng của R . Ta điện thoại tư vấn ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một vươn lên là số trên tập vừa lòng X , trong những số đó x là đổi thay số độc lập, y là đại lượng phụ thuộc hay hàm số của x . Tập hòa hợp X gọi là miền khẳng định của hàm số f . Tập thích hợp f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X call là miền cực hiếm của f trường hợp hàm số một phát triển thành số mang đến trong dạng biểu thức: y = f (x) nhưng không nói gì thêm thì ta gọi miền xác minh của hàm số là tập hợp hầu như giá trị thực của vươn lên là số x khiến cho biểu thức tất cả nghĩa. Lấy ví dụ 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác định khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Vì vậy miền khẳng định của hàm số y = 1 − x 2 là < −1,1> . Thuận tiện thấy rằng miền quý giá của hàm y là <0,1>. Miền khẳng định của một hàm số có thể gồm những tập bé rời nhau, trên từng tập con này lại có một nguyên tắc riêng để khẳng định giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định bởi những công thức khác biệt tùy trực thuộc vào giá trị của biến. Ví dụ 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x lúc x bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số hoàn toàn có thể là tập hợp những điểm tránh rạc, cũng có thể gồm một số trong những cung ngay tắp lự Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 lúc x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x lúc 0 1 ⎩2 Hình 1.1 bài toán vẽ tổng quát đồ thị của hàm số f với miền khẳng định là một khoảng chừng số thực hay được khẳng định theo trình tự như sau: Lấy các số x1 , x 2 ,..., x n từ bỏ miền xác minh của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm càng sát nhau càng tốt). • Tính các giá trị khớp ứng của hàm số y1 = f (x1 ),..., y n = f (x n ) • khẳng định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),..., M n = (x n , y n ) • Nối những điểm đã xác định nói trên ta tất cả hình hình ảnh phác họa của đồ thị hàm số. Biện pháp vẽ như bên trên không hoàn toàn đúng chuẩn mà chỉ cho dáng vẻ của trang bị thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa Hình 1.2 các đặc trưng cơ bản, sự nhờ vào của cực hiếm của hàm số và trở thành số. Nhìn vào đồ dùng thị hoàn toàn có thể dễ dàng quan gần kề xu hướng biến đổi của cực hiếm hàm số khi biến chủ quyền thay đổi.1.1.3. Hàm số 1-1 điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số solo điệu Hàm số f (x) khẳng định trong khoảng tầm (a, b) • Được call là đối chọi điệu tăng trong khoảng (a, b) nếu với đa số x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp (Nếu đk trên vẫn đúng lúc bỏ vệt đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b) ). Hàm số f được call là 1-1 điệu trên (a, b) ví như nó chỉ đối kháng điệu tăng hoặc chỉ 1-1 điệu giảm trong vòng này. Đồ thị của hàm số tăng là một trong đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là con đường “đi xuống” nếu chú ý từ trái sang trọng phải. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f khẳng định trên một tập hòa hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng (−l, l) , đoạn < −a, a > , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là các hàm lẻ bên trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn nhấn trục Oy làm cho trục đối xứng, còn vật thị hàm lẻ nhận cội tọa độ O làm trọng tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần trả Định nghĩa: Hàm số f được hotline là tuần hoàn trên miền xác định D (thông hay xét D ≡ R ) nếu như tồn trên số thực p ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p ∈ D với f (x + p) = f (x). Số p gọi là chu kỳ luân hồi của hàm f . 5 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục Nếu trong những số p nói trên, tồn tại một vài dương nhỏ dại nhất – ký kết hiệu vày T – thì T được call là chu kỳ cơ phiên bản của f . Lấy ví dụ 5: những hàm sin x, cos x gần như tuần trả với chu kỳ 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R các hàm tgx,cotgx hồ hết tuần hoàn với chu kỳ luân hồi π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 không dừng lại ở đó các chu kỳ nói trên số đông là các chu kỳ cơ bản. Thật vậy, ví dụ điển hình xem xét hàm y = sin x , trả sử trường thọ số dương T bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Hàm số g biến hóa x thành y theo phép tắc trên điện thoại tư vấn là (hàm số) phù hợp của hai hàm f với ϕ . Ký hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào lép vế lại có tác động trước đến thay đổi x ). Ví dụ như 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm thích hợp của hai hàm y = u 5 cùng u = sin x . Cách nói sau cũng được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm vừa lòng của nhì hàm f (x) = x 5 cùng ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) có miền xác định X , miền cực hiếm Y = f (X) . Nếu với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại tuyệt nhất x 0 ∈ X để f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 gồm nghiệm nhất trong X ) thì quy tắc biến đổi mỗi số y ∈ Y thành nghiệm tuyệt nhất của phương trình f (x) = y là 1 trong những hàm số đi từ bỏ Y cho X hotline là hàm ngược của hàm f , ký kết hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Lúc đó, dễ dãi thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Lấy ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) có hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) tất cả hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • các hàm lượng giác quen thuộc thuộc đều sở hữu hàm ngược với cùng một cách ký hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → < − 1,1> ⎟ gồm hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ đó là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ < − 1,1> → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ (<0, π> → < − 1,1>) Hàm số y = cos x tất cả hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược o đó là: x = arccos y (< − 1,1> → < 0, π>) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ bao gồm hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược kia là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên ( ( 0, π ) → R ) tất cả hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược đó là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • vày thường ký hiệu x nhằm chỉ biến tự do và y nhằm chỉ biến phụ thuộc nên khi biểu diễn hàm ngược thay bởi vì x = f −1 (y) bao gồm viết y = f −1 (x) . Chẳng hạn y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của nhị hàm ngược nhau không thay đổi như khi thay đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua mặt đường phân giác máy nhất. Thật vậy, hotline (C) cùng (C’) theo thứ tự là đồ dùng thị của nhì hàm f (x) cùng f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M " = (y, x) ∈ (C ") Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit1.1.6. Những hàm số sơ cấp1.1.6.1. Những hàm số sơ cấp cho cơ bạn dạng • Hàm lũy thừa y = x α (α ∈ R) Miền xác định (MXĐ) của hàm nhờ vào vào số α . O giả dụ α ≥ 0 , MXĐ là R . O giả dụ α nguyên âm. MXĐ là R 0 . 1 nếu như α = , p ∈ R* thì MXĐ là R + nếu như o p. P chẵn và R nếu p lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 nếu như α vô tỷ, MXĐ được quy ước là R + . O • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 với nghịch đổi thay nếu 0 1 với nghịch trở thành nếu o 0 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp y = cos x : có MXĐ là R ,o MGT < − 1,1> ; cho khớp ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm màn biểu diễn cung x radian trên tuyến đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ luân hồi cơ phiên bản 2π . Y = tgx : có MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho khớp ứng mỗi số thực x cùng với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc khẳng định các lượng chất giác điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trê tuyến phố tròn lượng giác) với trục tung là mặt đường thẳng gồm phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ luân hồi cơ bạn dạng π . Y = cotgx: có MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; cho khớp ứng mỗi số thực xo cùng với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là vấn đề biểu diễn cung x radian trên tuyến đường tròn lượng giác) cùng với trục cotg là con đường thẳng bao gồm phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ luân hồi cơ bản π . Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác 9 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên • hàm vị giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : bao gồm MXĐ là < − 1,1> , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. O ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. Y = arccos x : bao gồm MXĐ là < − 1,1> , MGT < 0, π> là hàm ngược của hàm cos. O Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. O ⎛ π π⎞ y = arctgx : có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : tất cả MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị những hàm lượng giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là một trong những hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cho cơ phiên bản và hàm hằng cùng với một số hữu hạn những phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép toán rước hàm hợp. Ví dụ như 8: các hàm số sau gần như là những hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • các chất giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Hàng số và giới hạn của hàng số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Dãy số Ta call dãy số là một trong tập hợp những số (gọi là những số hạng) được viết theo một sản phẩm công nghệ tự, xuất xắc được đánh số bằng những số từ bỏ nhiên. Để cho 1 dãy số, người ta rất có thể dùng các phương pháp như liệt kê, công thức bao quát và công thức truy hồi. • Liệt kê: Viết toàn bộ các số hạng theo đúng thứ từ (nếu không viết được không còn thì cần sử dụng dấu “…” để bộc lộ dãy xem thêm tục). • phương pháp tổng quát: chỉ rõ cách xác định một số hạng bất kỳ chỉ cần biết thứ từ bỏ của số hạng đó trong dãy. • cách làm truy hồi: chứng minh cách khẳng định một số hạng lúc biết những số hạng tức thời trước nó vào dãy. • Liệt kê chỉ có chân thành và ý nghĩa mô tả và tương thích nhất với dãy hữu hạn, có thể xem là cách biểu diễn bằng quy hấp thụ không trả toàn. Còn hai biện pháp kia đảm bảo có thể tìm được số hạng với sản phẩm tự bất kỳ trong dãy. Lấy ví dụ 9: dãy Fibonacci với 3 cách màn trình diễn nêu bên trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • công thức tổng quát: Số hạng thiết bị n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • công thức truy hồi: hai số hạng trước tiên đề bằng 1, tiếp đó, số hạng sau được tính bằng tổng hai số hạng tức thì trước. Công thức bao quát của dãy số là phương pháp biểu diễn rất tốt để hoàn toàn có thể định nghĩa hàng số. Dựa vào nó, hàng số được quan niệm một giải pháp hết sức dễ dàng mà chặt chẽ. Định nghĩa: hàng số là một ánh xạ (hàm số) gồm miền xác minh là (hoặc một tập con những số trường đoản cú nhiên liên tiếp của ) và lấy giá trị trong tập những số thực R . Ta thường ký hiệu hàng số vì x n n =1 giỏi gọn hơn x n . ∞ 11 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,..., ,...⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,..., (−1) n ,... N∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,..., n 2 ,... 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,..., (D) ,...⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2.

Xem thêm: Xem Phim Rắn Khổng Lồ 4: Con Đường Máu Hd Vietsub, Phim Rắn Khổng Lồ 4: Con Đường Máu Hd Vietsub

Hàng tăng, hàng giảm, hàng bị chặn Dãy x n hotline là • dãy tăng nếu x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy solo điệu nếu nó là dãy tăng hoặc hàng giảm. • Bị ngăn trên nếu như tồn trên số M làm sao cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị chặn dưới giả dụ tồn trên số m làm sao để cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị chặn nếu vừa bị ngăn trên, vừa bị ngăn dưới. Trong lấy ví dụ 10 • hàng (A) là hàng số giảm, bị ngăn dưới bởi 0 với bị chặn trên do 1. • hàng (B) không đối kháng điệu, bị chặn dưới vày −1 cùng bị chặn trên bởi 1. • dãy (C) là dãy tăng, bị ngăn dưới bởi 1 không trở nên chặn bên trên nên không biến thành chặn. • dãy (D) là hàng tăng, bị ngăn dưới vì chưng 0 với bị chặn trên vị 1.1.2.2. Số lượng giới hạn của dãy số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét hàng số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,..., n ,...⎬ . Khoảng cách giữa x n và 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: đến trước một số trong những ε > 0 nhỏ nhắn tùy ý thì sẽ kiếm được một số N sao để cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n cùng 0 sẽ nhỏ nhiều hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, mang đến trước khoảng ε = 0, 05 thì chỉ việc n = 8 thì x n − 0 = 0 đến trước (bé tùy ý), lâu dài số tự nhiên và thoải mái n 0 làm sao cho với đa số n > n 0 thì x n − a bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục Ta viết: lim x n = a hay x n → a lúc n → ∞ . N →∞ hàng x n được call là dãy quy tụ nếu vĩnh cửu số a nhằm lim x n = a . Trong trường hòa hợp n →∞ ngược lại, ta nói hàng phân kỳ. Trong quan niệm trên, số n 0 dựa vào vào ε đề xuất ta viết n 0 = n 0 (ε) . Ví dụ như 11: 1 = 0. Lim n →∞ n thật vậy, ta có: 1 xn − 0 = . N ⎡1 ⎤ Với mỗi ε > 0 ngẫu nhiên chỉ đề nghị chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì lúc n > n 0 có ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = 0 cho trước (lớn tùy ý), lâu dài số thoải mái và tự nhiên n 0 làm thế nào cho với hầu như n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lim x n = ∞ với là hàng phân kỳ. N →∞ Trên trên đây chỉ tuyên bố định nghĩa giới hạn vô thuộc nói chung, ta có thể phát biểu chi tiết hơn về số lượng giới hạn +∞, −∞ .1.2.3. Tiêu chuẩn chỉnh tồn trên giới hạn1.2.3.1. Tính tốt nhất của giới hạn Định lý: giả dụ một hàng có số lượng giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy chính là dãy bị ngăn . • số lượng giới hạn là duy nhất.1.2.3.2. Nguyên tắc giới hạn kẹp giả dụ có ba dãy số x n , y n , z n thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lim x n = lim z n = a ( a có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì y n có số lượng giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . N →∞1.2.3.3. Định lý Weierstrass dãy số tăng và bị ngăn trên (hoặc bớt và bị chặn dưới) thì hội tụ. 13 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.2.4. Các định lý về giới hạn của hàng số mang lại x n , y n là các dãy có giới hạn hữu hạn. Dùng định nghĩa có thể chứng tỏ các kết quả sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . Lim n →∞ y lim y n n →∞ n n →∞ chú ý rằng lúc cả x n , y n có những giới hạn vô rất thì nhìn tổng thể không thực hiện 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Lúc ấy ta được các công dụng nói trên. Những dạng vô định thường chạm chán là 0∞ nên dùng các phép thay đổi để khử dạng vô định. Ví dụ như 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lim ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lim ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lim n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn1.3. Số lượng giới hạn và sự tiếp tục của hàm số1.3.1. Định nghĩa1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) đưa sử hàm số f (x) xác minh ở bên cạnh điểm x 0 (có thể trừ trên x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là A khi x dần dần tới x 0 nếu: với đa số số ε > 0 mang lại trước, đầy đủ tồn tại một vài δ > 0 làm thế nào cho khi: x − x 0 x 0 hay x bài bác 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục • quy trình x tiến cho x 0 về phía bên phải, tức là x → x 0 với điều kiện x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc dễ dàng hơn là x → x 0 + • quá trình x tiến mang đến x 0 về phía bên trái, có nghĩa là x → x 0 với đk x x 0 • số lượng giới hạn bên trái: lim f (x) = f (x) . Lim x →x0 − x → x 0 ,x b (L b (f (x) g(x) ) với đa số x ∈ {x ∈ R : 0 bài 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • khi L 2 ≠ 0 . Lim g(x) L 2 x →a Định lý: đưa sử ϕ( x) cùng f (u) thỏa mãn các điều kiện: lim ϕ(x) = b với lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • vĩnh cửu số δ > 0 sao cho khi x ∈ (a − δ;a + δ) cùng x ≠ a ta luôn luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: lim f ( ϕ(x) ) = L . X →a Định lý: ví như hàm số sơ cấp f (x) xác định trong khoảng chừng chứa điểm x = a thì lim f (x) = f (a) . X →a Định lý: trường hợp tồn trên số δ > 0 làm thế nào cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với đa số x ∈ {x ∈ R : 0 0, lim g(x) = α . Lúc đó: lim < f (x) > g(x ) = bα . X →a x →a x →a ví dụ 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 cùng lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , bởi vì lim 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: giả dụ lim f (x) = 0 với g(x) là một trong những hàm số bị chặn thì lim f (x).g(x) = 0 . X →a x →a 1 1 = 0 vì chưng lim x 2 = 0 và sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →01.3.3. Vô cùng lớn, cực kỳ bé1.3.3.1. Quan niệm • Đại lượng f(x) gọi là 1 trong những vô cùng nhỏ nhắn (viết tắt là VCB) khi x → a nếu lim f (x) = 0 . X →a Ở đây, a rất có thể là hữu hạn xuất xắc vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A lúc x → a thì f (x) = A + α(x) trong những số ấy α(x) là một trong VCB khi x → a • Đại lượng F(x) gọi là 1 vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x → a nếu lim F(x) = +∞ x →a16 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp 1 • rất có thể dễ dàng thấy rằng trường hợp f(x) là 1 trong những VCB không giống không khi x → a thì là VCL f (x) 1 và ngược lại nếu F(x) là một trong những VCL khác không khi x → a thì là một trong VCB F(x) lúc x → a . Chú thích: • Một hàm hằng không giống không dù nhỏ bao nhiêu cũng không là 1 VCB khi x → a • Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là 1 VCL lúc x → a1.3.3.2. đặc điểm • giả dụ f1 (x), f 2 (x) là hai vcb khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng chính là những ngân hàng ngoại thương vcb khi x → a . • giả dụ f1 (x), f 2 (x) cùng dấu và là nhị VCL lúc x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là một trong VCL khi x → a . Tích của hai VCL khi x → a cũng là 1 VCL lúc x → a .1.3.3.3. So sánh các vô cùng bé nhỏ • Bậc của các VCB Định nghĩa: giả sử α( x), β(x) là hai vcb khi x → a . α(x) = 0 ; ta nói rằng α( x) là ngân hàng ngoại thương vcb bậc cao hơn β( x) . Nếu như lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta nói rằng α(x) là vcb bậc thấp hơn β(x) . Nếu như lim o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta bảo rằng α(x) và β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vietcombank cùng bậc. Trường hợp lim o x → a β(x) α(x) không tồn tại, ta nói rằng không thể đối chiếu hai ngân hàng ngoại thương vietcombank α(x) với Nếu lim o x → a β(x) β( x) . Ví dụ 14: 1 − cos x và 2x đa số là những vcb khi x → 0 . X x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 = lim Vì: lim x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 đề nghị 1 − cos x là ngân hàng ngoại thương vietcombank bậc cao hơn nữa 2x . Ví dụ 15: 1 x.sin cùng 2x là những ngân hàng ngoại thương vcb khi x → 0 . X 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 . X = lim Vì: lim 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục 1 1 đề xuất x sin với 2x là hai ngân hàng ngoại thương khi x → 0 không tuy nhiên không tồn tại lim sin x x x →0 so sánh được cùng với nhau. • VCB tương đương Định nghĩa: Hai ngân hàng ngoại thương vcb α ( x ) và β ( x ) không giống 0 lúc x → a gọi là tương tự với nhau trường hợp α(x) =1. Lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) dìm xét: 2VCB tương tự là trường hợp quan trọng của 2 ngân hàng ngoại thương cùng bậc. Định lý: giả dụ α(x) và β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vcb khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) lúc x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 lim . X → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) thiệt vậy, vì α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 11.3.3.4. Những vô cùng bé xíu tương đương thường gặp Nếu α(x) → 0 lúc x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x).1.3.4. Hàm số liên tục1.3.4.1. Định nghĩa f là 1 hàm số xác minh trong khoảng (a, b), x 0 là 1 trong điểm ở trong (a, b) .Ta bảo rằng hàm số f thường xuyên tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 ví như hàm số f không thường xuyên tại x 0 , ta bảo rằng nó gián đoạn tại x 0 . Nếu đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) hoàn toàn có thể viết là: lim < f (x) − f (x 0 ) > = 0 giỏi lim Δy = 0 . X →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng nói theo một cách khác rằng f thường xuyên tại x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lim x) . X →x0 x →x0 lấy ví dụ như 16: Hàm số y = x 2 liên tục tại đông đảo x 0 ∈ R . Thiệt vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; lim Δy = 2x 0 . Lim Δx + lim Δx. Lim Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 tương tự như vậy, tất cả thể chứng minh được rằng hồ hết hàm số sơ cấp cho cơ bản đều liên tục tại đông đảo điểm nằm trong miền khẳng định của nó.18 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục Định nghĩa: f(x) được hotline là: tiếp tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại các điểm của khoảng đó. Liên tục trên đoạn < a, b > , nếu nó liên tục tại đầy đủ điểm của khoảng chừng (a, b) , đồng thời tiếp tục phải trên a (tức là lim f (x) = f (a) ) và tiếp tục trái trên b (tức là: lim f (x) = f (b) ). X →a + 0 x →b −01.3.4.2. Các phép toán về hàm liên tiếp Từ những định lý về giới hạn của tổng, tích, thương với từ quan niệm của hàm số liên tục tại một điểm, hoàn toàn có thể dễ dàng suy ra: Định lý: trường hợp f cùng g là hai hàm số tiếp tục tại x 0 thì: • f (x) + g(x) thường xuyên tại x 0 • f (x).g(x) tiếp tục tại x 0 f (x) • liên tiếp tại x 0 giả dụ g(x 0 ) ≠ 0 . G(x) Định lý: trường hợp hàm số u = ϕ(x) liên tục tại x 0 , hàm số y = f (u) tiếp tục tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số thích hợp y = (f ϕ)(x) = f < ϕ(x) > thường xuyên tại x 0 . Triệu chứng minh: Ta có lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 do ϕ thường xuyên tại x 0 . X →x0 Hàm số: y = f (u) thường xuyên tại u 0 . Bởi vì đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u01.3.4.3. Tính chất của hàm số thường xuyên Các định lý tiếp sau đây (không chứng minh) nêu ra những đặc thù cơ bạn dạng của hàm số liên tục. Định lý: ví như hàm số f (x) tiếp tục trên đoạn < a; b > thì nó bị ngăn trên đoạn đó, tức là tồn tại nhì số m với M làm sao để cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ < a; b > . Định lý: ví như hàm số f (x) liên tiếp trên đoạn < a; b > thì nó đạt giá chỉ trị nhỏ nhất m và giá trị lớn số 1 M của chính nó trên đoạn ấy, tức là tồn tại hai điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ < a, b > ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ < a, b > Định lý (về giá trị trung gian): ví như hàm số f (x) liên tục trên đoạn < a; b > ; m cùng M là các giá trị nhỏ tuổi nhất và lớn nhất trên đoạn kia thì với đa số số μ nằm trong lòng m và M luôn tồn tại ξ ∈ < a, b > sao cho: f ( ξ) = μ . Hệ quả: nếu như f(x) liên tiếp trên < a, b > , f(a)f(b) bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tụcTÓM LƯỢC CUỐI BÀITrong bài bác này chúng ta nghiên cứu vớt ba sự việc là:• Những vấn đề cơ bạn dạng về hàm số một biến hóa số• dãy số và số lượng giới hạn của hàng số• số lượng giới hạn của hàm sốPhần đầu tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số, một trong những tính chấtcủa hàm số như tính 1-1 điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ khám phá cáckhái niệm về dãy số và giới hạn của dãy số, các định lý áp dụng để tính giới hạn của dãy số.Phần sau cuối trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tục và các khái niệm hết sức lớn, vôcùng bé.20